
Алгебра : углубленный курс с решениями и указаниями: учебно-методическое пособие
Год издания: 2021
Серия:
ВМК МГУ – школе
Издательство: Лаборатория знаний
Под редакцией:
Федотова М.В.
Возрастное ограничение:
12+
Объем (стр.):
549
Постраничный просмотр для данной книги Вам недоступен.
Оплатить доступ к режиму онлайн-чтения.
Книга доступна только по дополнительной подписке.
Узнать подробнееКнига находится в издательской коллекции:
Коллекция издательства «Лаборатория знаний» «Выпускник. Абитуриент»Алгебра : углубленный курс с решениями и указаниями : учебно-методическое пособие : [12+] / Н. Д. Золотарева, Ю. А. Попов, В. В. Сазонов [и др.] ; под ред. М. В. Федотова. – 6-е изд. – Москва : Лаборатория знаний, 2021. – 549 с. – (ВМК МГУ – школе). – Режим доступа: по подписке. – URL: https://biblioschool.ru/index.php?page=book&id=697102 (дата обращения: 24.06.2025). – Библиогр. в кн. – ISBN 978-5-93208-501-1. – Текст : электронный.
Настоящее пособие составлено преподавателями факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова на основе задач вступительных экзаменов по математике в МГУ и задач единого государственного экзамена. Пособие содержит теоретический материал, подборку задач, а также идеи, указания (подсказки) и решения задач.
Рекомендуется абитуриентам при подготовке к поступлению как в МГУ, так и в другие вузы, при подготовке к сдаче единого государственного экзамена, а также учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям подготовительных курсов.
Рекомендуется абитуриентам при подготовке к поступлению как в МГУ, так и в другие вузы, при подготовке к сдаче единого государственного экзамена, а также учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям подготовительных курсов.
От редактора | 6 |
Предисловие | 7 |
Часть I. Теория и задачи | 9 |
1. Элементы теории чисел | 9 |
1.1. Целые числа. Делимость и остатки | 9 |
1.2. Уравнения в целых числах | 11 |
1.3. Смешанные задачи на целые числа | 14 |
1.4. Рациональные и иррациональные числа | 17 |
1.5. Сравнение чисел | 19 |
2. Тригонометрические неравенства, обратные тригонометрические функции | 23 |
2.1. Основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Преобразование выражений с обратными тригонометрическими функциями | 23 |
2.2. Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими функциями | 27 |
2.3. Отбор решений в тригонометрических уравнениях. Тригонометрические неравенства | 30 |
2.4. Смешанные задачи | 34 |
3. Полезные преобразования и замены переменных | 35 |
3.1. Использование формул сокращённого умножения, выделение полног оквадрата | 35 |
3.2. Замены переменных в рациональных уравнениях, неравенствах и системах | 39 |
3.3. Замены переменных в иррациональных уравнениях, неравенствах и системах | 43 |
3.4. Замены переменных в показательных и логарифмических уравнениях, неравенствах и системах | 46 |
3.5. Замены в тригонометрических уравнениях и тригонометрические замены | 50 |
4. Нестандартные текстовые задачи | 54 |
4.1. Недоопределённые задачи | 54 |
4.2. Неравенства в текстовых задачах | 57 |
4.3. Оптимальный выбор, наибольшие и наименьшие значения | 60 |
5. Использование свойств квадратного трёхчлена в задачах с параметрами | 63 |
5.1. Исследование свойств квадратичной функции в зависимости от значений параметра. Теорема Виета | 63 |
5.2. Теоремы о расположении корней квадратного трёхчлена на числовой оси | 67 |
5.3. Смешанные задачи | 73 |
6. Использование различных свойств функций и применение графических иллюстраций | 75 |
6.1. Область определения функции, монотонность, периодичность, чётность и нечётность | 75 |
6.2. Множество значений функции, промежутки знакопостоянства и монотонности | 78 |
6.3. Функциональные уравнения и неравенства | 83 |
6.4. Использование графических иллюстраций | 89 |
7. Метод оценок | 95 |
7.1. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства | 95 |
7.2. Тригонометрические уравнения и неравенства | 98 |
7.3. Уравнения и неравенства с логарифмическими и показательными функциями | 104 |
8. Задачи на доказательство | 106 |
8.1. Тригонометрические задачи на доказательство | 106 |
8.2. Метод математической индукции | 109 |
8.3. Доказательство неравенств и тождеств | 111 |
9. Использование особенностей условия задачи | 114 |
9.1. Оптимизация процесса решения, введение функций, искусственное введение параметров, смена ролей параметра и переменной | 114 |
9.2. Чётность и симметричность по нескольким переменным, исследование единственности решения, необходимые и достаточные условия | 118 |
9.3. Редукция задачи и переформулирование условия | 123 |
9.4. Смешанные задачи | 127 |
Часть II. Указания и решения | 131 |
1. Элементы теории чисел | 131 |
1.1. Целые числа. Делимость и остатки | 131 |
1.2. Уравнения в целых числах | 138 |
1.3. Смешанные задачи на целые числа | 146 |
1.4. Рациональные и иррациональные числа | 154 |
1.5. Сравнение чисел | 159 |
2. Тригонометрические неравенства, обратные тригонометрические функции | 169 |
2.1. Основные свойства арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Преобразование выражений с обратными тригонометрическими функциями | 169 |
2.2. Уравнения и неравенства с обратными тригонометрическими функциями | 180 |
2.3. Отбор решений в тригонометрических уравнениях. Тригонометрические неравенства | 191 |
2.4. Смешанные задачи | 202 |
3. Полезные преобразования и замены переменных | 218 |
3.1. Использование формул сокращённого умножения, выделение полног оквадрата | 218 |
3.2. Замены переменных в рациональных уравнениях, неравенствах и системах | 236 |
3.3. Замены переменных в иррациональных уравнениях, неравенствах и системах | 245 |
3.4. Замены переменных в показательных и логарифмических уравнениях, неравенствах и системах | 259 |
3.5. Замены в тригонометрических уравнениях и тригонометрические замены | 276 |
4. Нестандартные текстовые задачи | 284 |
4.1. Недоопределённые задачи | 284 |
4.2. Неравенства в текстовых задачах | 293 |
4.3. Оптимальный выбор, наибольшие и наименьшие значения | 300 |
5. Использование свойств квадратного трехчлена в задачах с параметрами | 312 |
5.1. Исследование свойств квадратичной функции в зависимости от значений параметра. Теорема Виета | 312 |
5.2. Теоремы о расположении корней квадратного трехчлена на числовой оси | 322 |
5.3. Смешанные задачи | 338 |
6. Использование различных свойств функций и графических иллюстраций | 354 |
6.1. Область определения функции, монотонность, периодичность, чётность и нечётность | 354 |
6.2. Множество значений функции, промежутки знакопостоянства и монотонности | 360 |
6.3. Функциональные уравнения и неравенства | 376 |
6.4. Использование графических иллюстраций | 392 |
7. Метод оценок | 414 |
7.1. Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства | 414 |
7.2. Тригонометрические уравнения и неравенства | 422 |
7.3. Уравнения и неравенства с логарифмическими и показательными функциями | 442 |
8. Задачи на доказательство | 458 |
8.1. Тригонометрические задачи на доказательство | 458 |
8.2. Метод математической индукции | 468 |
8.3. Доказательство неравенств и тождеств | 477 |
9. Использование особенностей условия задачи | 491 |
9.1. Оптимизация процесса решения, введение функций, искусственное введение параметров, смена ролей параметра и переменной | 491 |
9.2. Чётность и симметричность по нескольким переменным, исследование единственности решения, необходимые и достаточные условия | 501 |
9.3. Редукция задачи и переформулирование условия | 512 |
9.4. Смешанные задачи | 520 |
Варианты ДВИ МГУ последних лет | 528 |
Ответы | 534 |
Список литературы | 544 |
Дополнительные материалы к этой книге
Рекомендуем посмотреть

Алгебра : основной курс с решениями и указаниями: учебно-методическое пособие
Золотарева Н. Д., Попов Ю. А., Семендяева Н. Л., Федотов М. В.

Алгебра : основной курс с решениями и указаниями: учебно-методическое пособие
Золотарева Н. Д., Попов Ю. А., Семендяева Н. Л., Федотов М. В.

Олимпиадная математика : арифметические задачи с решениями и указаниями. 5–7 классы: учебно-методическое пособие
Золотарева Н. Д., Федотов М. В.

Олимпиадная математика : задачи на игры и инварианты с решениями и указаниями : 5–7 классы: учебное пособие
Золотарева Н. Д., Федотов М. В.

Математика : сборник задач по основному курсу: учебно-методическое пособие
Золотарева Н. Д., Попов Ю. А., Семендяева Н. Л., Федотов М. В.

Олимпиадная математика : элементы алгебры, комбинаторики и теории вероятностей. 5–7 классы: учебно-методическое пособие
Золотарева Н. Д., Федотов М. В.

Геометрия : углубленный курс с решениями и указаниями: учебно-методическое пособие
Будак Б. А., Золотарева Н. Д., Федотов М. В.

Геометрия : основной курс с решениями и указаниями: учебно-методическое пособие
Золотарева Н. Д., Семендяева Н. Л., Федотов М. В.

Математика : сборник задач для девятиклассников: учебно-методическое пособие
Золотарева Н. Д., Семендяева Н. Л., Федотов М. В.

Геометрия : основной курс с решениями и указаниями: учебно-методическое пособие
Золотарева Н. Д., Семендяева Н. Л., Федотов М. В.

Геометрия : углубленный курс с решениями и указаниями: учебно-методическое пособие
Будак Б. А., Золотарева Н. Д., Федотов М. В.

Олимпиадная математика : логические задачи с решениями и указаниями. 5–7 классы: учебно-методическое пособие
Золотарева Н. Д., Федотов М. В.

Математика : сборник задач по углублённому курсу: учебно-методическое пособие
Будак Б. А., Золотарева Н. Д., Попов Ю. А.

Олимпиадная математика : задачи по теории графов с решениями и указаниями. 5–7 классы: учебно-методическое пособие
Семендяева Н. Л., Федотов М. В.

Программирование в примерах и задачах: учебное пособие
Грацианова Т. Ю.

Физика. Сборник задач : ЕГЭ, олимпиады, экзамены в вуз: сборник задач и упражнений
Вишнякова Е. А., Макаров В. А., Черепецкая Е. Б., Чесноков С. С.

Физика. Углубленный курс с решениями и указаниями : ЕГЭ, олимпиады, экзамены в вуз: учебное пособие
Вишнякова Е. А., Макаров В. А., Черепецкая Е. Б., Чесноков С. С.

Физика : задачник-практикум для поступающих в вузы: учебно-методическое пособие
Макаров В. А., Чесноков С. С.